Homotecia

Una homotecia es una  una transformación geométrica  que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor.

No tiene una imagen congruente, ya que a partir de una figura dada se obtienen una o varias figuras en tamaño mayor o menor que la figura dada, para obtenerlas se parte de un punto escogido arbitrariamente, al cual se llama centro de homotecia, del cual se trazan segmentos de recta, tantos como vértices tenga la figura que se va a transformar, se debe considerar otro elemento básico para desarrollar esta transformación, siendo esta una constante, la cual se denomina constante de homotecia que viene a ser la escala en la cual se realiza la reproducción.

Propiedades:

• Los ángulos de las figuras por homotecia son iguales ya que tienen la misma medida.

• Los segmentos son paralelos.

• Las dimensiones de dos figuras por homotecia son directamente proporciónales; esta proporción es fijada por la constante de homotecia.

Aquellas figuras que no cumplen con la propiedad de ser paralelos los segmentos se les denomina figuras semejantes, a las que cumplen con todas las propiedades se les denomina figuras homoteticas.

Aquí te dejo un video, para conocer la construcción de una homotecia:

Rotación, traslación y reflexión

Figuras Congruentes

La palabra congruencia procede del latín congruere que significa convertir a un tiempo. Dos figuras son congruentes cuando una pueda ser convertida en la otra.

Luego, si una es convertida en la otra, ambas figuras serán iguales y cuando las superponemos coincidirán en todos sus puntos.

La conversión la llevamos a cabo a través de tres movimientos:

• Reflexiones:

Podemos definir reflexión como sinónimo de voltear

Ejemplo:

Podemos observar que los puntos están a la misma distancia de la linea central y la reflexión tiene el mismo tamaño que la imagen original.
La línea central se llama línea de reflexión .
Sin importar la dirección del reflejo, la imagen reflejada siempre tiene el mismo tamaño, pero en la otra dirección:

 

• Rotaciones:

Este término significa girar alrededor de un centro.

La distancia del centro a cualquier punto de la figura es la misma.

Cada punto sigue un círculo alrededor del centro.

• Traslaciones:

En geometría, significa mover, sin girar, ni cambiar el tamaño, etc.

Cada punto de la figura se mueve a la misma distancia en la misma dirección.

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Ecuaciones trigonométricas

¿Qué tal? En esta entrada veremos otro tema de la rama de la trigonometría analítica...

Una ecuación trigonométrica es una ecuación en la que aparece una o más funciones trigonométricas, estas son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes.

Las ecuaciones trigonométricas de la forma f (x) = k.

Son ecuaciones en donde f(x) es una función trigonométrica y k es una constante. Su solución es presentada a partir de la realización de simples despejes. Al finalizar el despeje se debe observar el rango de la función puesto que si k no pertenece a dicho rango, la ecuación no tiene solución.

En este vídeo, podremos observar un ejemplo de este tipo de ecuaciones:

Las ecuaciones trigonométricas lineales.

Ejemplo:

Las ecuaciones trigonométricas en forma factorizada.

Para este tipo de ecuaciones debes recordar los casos de factorización.(Dando clic, podrás ver en el enlace los principales casos de factorización)

Ejemplo:

Las ecuaciones trigonométricas con identidades.

(Aplicas las fórmulas de las identidades trigonométricas)

Ejemplo:

Las ecuaciones trigonométricas con ángulos dobles y medios.

(Formulas para ángulos dobles y medios)

Ejemplo:

Ten presente el circulo trigonométrico:

Transformación de productos en suma o diferencia

• Transformación del producto del seno de α y β en suma (o resta):

• Transformación del producto del seno de α y coseno de β en suma (o resta):

• Transformación del producto del coseno de α y seno de β en suma (o resta):

• Transformación del producto de cosenos de α y β en suma (o resta):

Ejemplo:

Sea α=90º y β=45º. Veamos que se verifican las igualdades de las transformaciones de suma a producto.

• Transformación del producto del seno de α y β en suma (o resta):
  
  
• Transformación del producto del seno de α y coseno de β en suma (o resta):
  
  
• Transformación del producto del coseno de α y seno de β en suma (o resta):
  
  
• Transformación del producto de cosenos de α y β en suma (o resta):
  
  

Identidades para ángulos dobles y medios

Identidades de ángulo doble

• Ejemplo: Reescribe en una forma mas simple, usando una identidad trigonométrica:

              

Identidades de reducción de potencias

Identidades de ángulo medio

• Ejemplo: Determine el valor correcto de cos15:

Identidades para la suma y resta de ángulos

Para estas identidades ten en cuenta la tabla de los ángulos notables:

Suma:

• Algunos ejemplos:

Resta:

• Ejemplo:

Demostración de una identidad trigonométrica

Hola! En esta entrada vamos vamos a realizar la comprobación de la siguiente identidad trigonométrica:

Vamos a empezar a solucionarla por el lado izquierdo de la igualdad, por lo tanto:

Como tenemos un fraccionario con diferente denominador utilizamos la propiedad de la carita feliz :

Recordamos la identidad  de:

Y obtenemos que:

Finalmente:

Expresiones que se obtienen a partir de las identidades fundamentales

Teniendo en cuenta la siguiente circunferencia:

Podemos demostrar que:

¿Que hicimos? Teniendo presente que es un triángulo rectángulo, aplicamos el Teorema de Pitágoras  y reemplazamos valores:

Y tuvimos como resultado la identidad fundamental de :

De la cual podemos deducir:

Recordemos que:

Si reemplazamos los valores del triángulo rectángulo, obtenemos:

A partir de la identidad fundamental, dividimos entre sen2x:

Y obtenemos:

 A partir de la identidad fundamental, dividimos entre cos2x:

Y obtenemos:

Identidades trigonometricas

Podemos definirlas como identidades en las cuales la ecuación se cumple para cualquier valor que se la da a la variable; estas son correspondencias en las cuales se aplican las funciones trigonométricas para su desarrollo y se pueden considerar como una simplificación de tal.

En este tema encontramos tres identidades fundamentales que son:

a) Identidades Pitagóricas:

b) Identidades reciprocas:

c) Identidades de relación entre funciones: