Ecuaciones trigonométricas

¿Qué tal? En esta entrada veremos otro tema de la rama de la trigonometría analítica...

Una ecuación trigonométrica es una ecuación en la que aparece una o más funciones trigonométricas, estas son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes.

Las ecuaciones trigonométricas de la forma f (x) = k.

Son ecuaciones en donde f(x) es una función trigonométrica y k es una constante. Su solución es presentada a partir de la realización de simples despejes. Al finalizar el despeje se debe observar el rango de la función puesto que si k no pertenece a dicho rango, la ecuación no tiene solución.

En este vídeo, podremos observar un ejemplo de este tipo de ecuaciones:

Las ecuaciones trigonométricas lineales.

Ejemplo:

Las ecuaciones trigonométricas en forma factorizada.

Para este tipo de ecuaciones debes recordar los casos de factorización.(Dando clic, podrás ver en el enlace los principales casos de factorización)

Ejemplo:

Las ecuaciones trigonométricas con identidades.

(Aplicas las fórmulas de las identidades trigonométricas)

Ejemplo:

Las ecuaciones trigonométricas con ángulos dobles y medios.

(Formulas para ángulos dobles y medios)

Ejemplo:

Ten presente el circulo trigonométrico:

Transformación de productos en suma o diferencia

• Transformación del producto del seno de α y β en suma (o resta):

• Transformación del producto del seno de α y coseno de β en suma (o resta):

• Transformación del producto del coseno de α y seno de β en suma (o resta):

• Transformación del producto de cosenos de α y β en suma (o resta):

Ejemplo:

Sea α=90º y β=45º. Veamos que se verifican las igualdades de las transformaciones de suma a producto.

• Transformación del producto del seno de α y β en suma (o resta):
  
  
• Transformación del producto del seno de α y coseno de β en suma (o resta):
  
  
• Transformación del producto del coseno de α y seno de β en suma (o resta):
  
  
• Transformación del producto de cosenos de α y β en suma (o resta):
  
  

Identidades para ángulos dobles y medios

Identidades de ángulo doble

• Ejemplo: Reescribe en una forma mas simple, usando una identidad trigonométrica:

              

Identidades de reducción de potencias

Identidades de ángulo medio

• Ejemplo: Determine el valor correcto de cos15:

Identidades para la suma y resta de ángulos

Para estas identidades ten en cuenta la tabla de los ángulos notables:

Suma:

• Algunos ejemplos:

Resta:

• Ejemplo:

Demostración de una identidad trigonométrica

Hola! En esta entrada vamos vamos a realizar la comprobación de la siguiente identidad trigonométrica:

Vamos a empezar a solucionarla por el lado izquierdo de la igualdad, por lo tanto:

Como tenemos un fraccionario con diferente denominador utilizamos la propiedad de la carita feliz :

Recordamos la identidad  de:

Y obtenemos que:

Finalmente:

Expresiones que se obtienen a partir de las identidades fundamentales

Teniendo en cuenta la siguiente circunferencia:

Podemos demostrar que:

¿Que hicimos? Teniendo presente que es un triángulo rectángulo, aplicamos el Teorema de Pitágoras  y reemplazamos valores:

Y tuvimos como resultado la identidad fundamental de :

De la cual podemos deducir:

Recordemos que:

Si reemplazamos los valores del triángulo rectángulo, obtenemos:

A partir de la identidad fundamental, dividimos entre sen2x:

Y obtenemos:

 A partir de la identidad fundamental, dividimos entre cos2x:

Y obtenemos:

Identidades trigonometricas

Podemos definirlas como identidades en las cuales la ecuación se cumple para cualquier valor que se la da a la variable; estas son correspondencias en las cuales se aplican las funciones trigonométricas para su desarrollo y se pueden considerar como una simplificación de tal.

En este tema encontramos tres identidades fundamentales que son:

a) Identidades Pitagóricas:

b) Identidades reciprocas:

c) Identidades de relación entre funciones: